Спектрална теория, теория на разсейване, динамични системи.

Основните научни интереси и публикации на акад. Попиванов са в областта на частните диференциални уравнения – линеен и нелинеен микролокален анализ, неелиптични гранични задачи, глобална разрешимост и хипоелиптичност, разпространение на особеностите на нелинейни нестрого хиперболични уравнения и системи и приложения в механиката и геометрията.

Частни диференциални уравнения, Микролокален анализ, Спектрална теория, Теория на разсейване, Динамични системи.

Представяния на алгебри на Ли и Хеке, групи, алгебри и диференциални и диференчни уравнения свързани с квантовата механика и математическата физика.

уравнения на математическата физика, нелинейни диференциални уравнения, математическа икономика.

Нелинейни елиптични и параболични уравнения и системи, появяващи се в геометрията, физиката и техниката като уравнението на минималната повърхнина, уравнението на Монж-Ампер, уравнението на анизотропната дифузия в теория за изчистване на образа, вискозни решения, задачи на дифракцията за уравнения с прекъснати коефициенти и др.

Теория на солитоните и техните взаимодействия.

....

Нелинейни уравнения, интегрируеми системи, диференциална геометрия, симетрии и теория на особеностите, геометрични методи във  физиката.