Теоретична и математическа физика, Физика на пространство-времето и гравитацията, Астрофизика и космология, Диференциална геометрия и топология, Нелинейни частни диференциални уравнения, Числени методи и изчислителна физика

Хамилтонови частни и обикновени ДУ, динамични системи, Риманова и симплектична геометрия.

Нелинейни динамични системи, свързани с безкрайномерни алгебри на Ли.

Теория на частни диференциални уравнения, CNN моделиране на сложни, нелинейни частни диференциални уравнения, произлизащи от математическата физика, биологията, екологията, механиката и др.

Частни диференциални уравнения и приложения: разрешимост и хипоелиптичност за псевдодиференциални уравнения с кратни характеристики, теория на разсейване за хиперболични уравнения и системи в области с движеща се граница, нелинейни израждащи се параболични уравнения, метод на граничните интегрални уравнения за системи на еластичността в области с пукнатини.

Основните научни интереси и публикации на акад. Попиванов са в областта на частните диференциални уравнения – линеен и нелинеен микролокален анализ, неелиптични гранични задачи, глобална разрешимост и хипоелиптичност, разпространение на особеностите на нелинейни нестрого хиперболични уравнения и системи и приложения в механиката и геометрията.

Частни диференциални уравнения, Микролокален анализ, Спектрална теория, Теория на разсейване, Динамични системи.

Представяния на алгебри на Ли и Хеке, групи, алгебри и диференциални и диференчни уравнения свързани с квантовата механика и математическата физика.

Нелинейни елиптични и параболични уравнения и системи, появяващи се в геометрията, физиката и техниката като уравнението на минималната повърхнина, уравнението на Монж-Ампер, уравнението на анизотропната дифузия в теория за изчистване на образа, вискозни решения, задачи на дифракцията за уравнения с прекъснати коефициенти и др.