Следващото заседание на семинара “Алгебра и логика” ще се проведе на 31 май 2019 г. (петък) от 12:30 часа (а не както обикновено от 13:00 часа) в зала 578 на ИМИ – БАН.

Доклад на тема

ВЪРХУ РАЗЛИЧИЕТО НА СУМИТЕ НА КЛОСТЕРМАН НАД GF(p)

ще изнесе Любомир БОРИСОВ.

Поканват се всички желаещи.

От секция „Алгебра и логика” на ИМИ – БАН

Резюме. Нека $\mathbb{F}_q$ е крайното поле с нечетна характеристика $q$ от ред $q=p^m$, $m \in \mathbb{N}$; $\mathbb{F}^*_q = \mathbb{F}_q \ \{0\}$, $\mathrm{Tr}$ е функцията абсолютна следа над $\mathbb{F}_q$ и $a \in \mathbb{F}_q$. Сума на Клостерман $K_q(a)$ се дефинира, както следва:

Дефиниция 1:
$$
K_q(a) = \sum_{x \in \mathbb{F}^*_q} \omega^{Tr(x + \frac{a}{x})},
$$
където $\omega = e^{\frac{2\pi i}{p}}$ е комплексен примитивен $p$-ти корен на $1$.

При сумите на Клостерман $K_q(a)$ има тенденция да са различни за достатъчно голямо $p$ (с точност до действието на групата на Галоа $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)$, породена от автоморфизма на Фробениус), т.е. $K_q(a) = K_q(b)$ точно когато $b = a^{p^s}$ за някое $s$. Например в [1] е доказано, че това е вярно винаги за $p > (2.4^m + 1)^2$. Обаче не са известни резултати за различие на тези суми, когато $p$ е малко спрямо $m$ и $a$ пробягва някое подполе.
Тази работа дава частичен прогрес за прости подполета и  $m = 2^n$, $n \in \mathbb{N}$. Основният резултат е формулиран в следната Теорема:

Теорема 2: За всяко $n \geq 0$, $(p-1)$-те суми на Клостерман $K_{p^{2^n}}(a)$, $a \in \mathbb{F}^*_p$ са различни.

Накрая на базата на известния факт, че $K_q(0) = -1$ за всяко $q$ и на несъществуването на нули на Клостерман, когато $p > 3$ [2], получаваме следното следствие.

Следствие 3: За всяко $n \geq 0$, $p$-те суми на Клостерман $K_{p^{2^n}}(a)$, получени когато $a$ пробягва простото поле $\mathbb{F}_p$, $p > 3$, са различни.

Литература:
[1] B. Fischer, “Distinctness of Kloosterman sums”, in Contemporary Mathematics: p-adic Methods in Number
Theory and Algebraic Geometry, American Mathematical Society, 81-102, 1992.
[2] K.P. Kononen, M. Rinta-aho, K. V\”a\”an\”anen, “On integer values of Kloosterman sums”‘, IEEE Transactions on
Inform. Theory, vol. 57(3): 4011-4013, 2010.