Следващото заседание на семинара “Алгебра и логика” ще се проведе на 22 ноември 2019 г. (петък) от 13:00 часа в зала 578 на ИМИ – БАН.

Доклад на тема

ДИОФАНТОВА И КОХОМОЛОГИЧНА РАЗМЕРНОСТ НА ПОЛЕТА ОТ АРИТМЕТИЧЕН ТИП

ще изнесе Иван ЧИПЧАКОВ.

Поканват се всички желаещи.

От секция „Алгебра и логика” на ИМИ – БАН

Резюме. Диофантовата размерност dd(E) на поле E е инвариант, оказващ влияние върху редица специфични свойства на E и на алгебрични структури, асоциирани с E. По определение, имаме dd(Е) ≤ i, където i е дадено цяло неотрицателно число, ако Е е поле от тип C_i, в смисъл на Ленг, т.е. изпълнено е следното: всеки ненулев хомогенен полином с коефициенти от F от степен d и n > d^i независими променливи има нетривиална нула над F. Казваме, че dd(F) = i, ako i е минималното число, за което dd(F) ≤ i; в случай, че такова i не съществува, полагаме dd(F) = ∞.
Сравнително неотдавна стана ясно, че ако dd(E) е крайна, то такива са и кохомологичните p-размерности на абсолютната група на Галоа G(E) (разглеждана като прокрайна група), за всички прости числа p. Това допълва известни резултати като равенствата dd(F) = cd(G(F)) = i, когато F e крайно-породено разширение от степен на трансцендентност i над алгебрически затворено поле.
Под поле с (обикновена, т.е. кохомологична) размерност, ненадминаваща единица, разбираме поле E, чиито крайни разширения имат тривиални групи на Брауер. Когато Е е съвършено, неравенството dim(E) ≤ 1 e в сила, точно когато G(E) има кохомологична размерност ≤ 1. Известно е, че класът на полетата с размерност ≤ 1 съдържа всяко поле F от тип C_1, т.е. с dd(F) ≤ 1.
В общия случай, обратното е невярно: Акс дава пример на поле F’ с характеристика нула, dim(F’) ≤ 1 и dd(F’) = ∞ (Bull. Am. Math. Soc. 71 (1965), p.717). Това оставя отворен въпроса дали съществува алгебрично разширение на полето на рационалните числа ℚ, което е поле с размерност ≤ 1, но не е от тип C_1. Целта на доклада е да даде отговор на този въпрос. Основният му резултат, приложен към максималното алгебрично разширение K_p на ℚ в полето на p-адичните числа ℚ_p, за дадено просто p, показва съществуването на алгебрично разширение E_p/ℚ  със следните свойства: dim(E_p) ≤ 1 и E_p не е C_1-поле; E_p притежава хензелево нормиране, чието поле от остатъци има характеристика p.