Риманова и комплексна геометрия

Проект по договор ДН 12/2


Базова организация:
Институт по математика и информатика - БАН

Източник на финансиране:
Фонд „Научни изследвания”, конкурс за финансиране на фундаментални научни изследвания - 2017 г.

Срок на изпълнение:
декември 2017 – декември 2020

Riemann

Бернхард Риман, 1826-1866

Цели на проекта

Целта на проекта е получаването на нови и значими резултати в следните актуални направления от Римановата и комплексната геометрия

  • Ермитова геометрия на класически и обобщени туисторни пространства.
  • Геометрични свойства на почти комплексни структури, разгледани като изображения в туисторни пространства
  • Съществуване на холоморфни функции относно почти комплексна структура (частична интегруемост на такава структура).
  • Свойства на притискащата функция.
  • Инвариантна теория на квази-минимални повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика.
  • Повърхнини с паралелен нормиран вектор на средната кривина в 4-мерни плоски пространства.
  • Вайерщрасови представяния за минимални повърхнини в пространство на Минковски.

Екип на проекта

  • проф. д-р Величка Милушева (ИМИ-БАН), ръководител
  • чл.-кор. проф. дмн Олег Мушкаров (ИМИ-БАН)
  • проф. дмн Йохан Давидов (ИМИ-БАН)
  • чл.-кор. проф. дмн Николай Николов (ИМИ-БАН)
  • доц. д-р Георги Ганчев (ИМИ-БАН)
  • Яна Алексиева (ФМИ, СУ „Св. Климент Охридски“, докторант на ИМИ)
  • Виктория Бенчева (ВТУ „Св. св. Кирил и Методий“, докторант на ИМИ)

Задачи и дейности

Научните изследвания в проекта са насочени към решаване на следните научноизследователски задачи:

  • Изследвания върху геометрията на класически и обобщени туисторни пространства.
  • Изучаване на почти Ермитови структури като изображения в туисторни пространства.
  • Намиране на условия за частична интегруемост на почти комплексни структури.
  • Изследване поведението на притискащата функция.
  • Описание на повърхнините с паралелен нормиран вектор на средната кривина в 4-мерно Евклидово пространство и пространство на Минковски чрез система частни диференциални уравнения.
  • Разработване на инвариантна теория на квази-минимални повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика.
  • Вайерщрасови представяния за минимални повърхнини в пространство на Минковски.

Работата по тези научноизследователски задачи е разделена на следните работни пакети:

  • РП 1. Геометрия на класически и обобщени туисторни пространства
  • РП 2. Свойства на почти Ермитови структури като изображения в туисторни пространства
  • РП 3. Частична интегруемост на почти комплексни структури
  • РП 4. Свойства на притискащата функция
  • РП 5. Диференциална геометрия на двумерни подмногообразия в плоски 4-мерни пространства

Очаквани научни резултати

Предвидените научни изследвания в проекта са насочени към решаване на следните научноизследователски задачи:

  • Установяване на условията върху ориентирано четиримерно Риманово многообразие, при които една естествена почти комплексна структура върху неговото обобщено туисторно пространство, дефинирана чрез метрична свързаност с анти-симетрична торзия, е интегруема.
  • Намиране на условия върху ориентирано четиримерно Риманово многообразие, при които едно естествено седеммерно подмногообразие на неговотото обобщеното туисторно пространство е интегруемо като многообразие на Коши-Риман.
  • Установяване на условия, при които това подмногообразие е нормално почти контактно многообразия.
  • Намиране на условия върху почти Ермитово многобразие, при които неговата почти комплексна структура дефинира изображение от многообразието в туисторното му пространство, което е напълно геодезично, (1,1)-геодезично или Ермитово хармонично.
  • Намиране на геометричните условия върху 4-мерно почти Ермитово многообразие, при които кривините на естествените Ермитови свързаности (Чърн, Бисмут и др.) на туисторното му пространство, снабдено със съвместимата почти Ермитова структура има следните свойства:
    а) скаларните им кривини са пропорционални на Римановата скаларна кривина
    б) изпълняват първото тъждество на Бианки
    в) изпълняват кривинните тъждества на Грей
  • Определяне на холоморфния тип на съвместими почти комплексни структури върху туисторни пространства.
  • Определяне на холоморфния тип на ляво-инвариантни симплектични почти комплексни структури върху обобщени многообразия на Търстън.
  • Намиране на оптимална оценка в термините на разстоянието до границата на притискащата функция на дадена област около строго псевдоизпъкнала гранична точка.
  • Описание на равнинните области, за които притискащата функция е ограничена отдолу от положителна константа.
  • Въвеждане на естествени параметри върху повърхнини с паралелен нормиран вектор на средната кривина в 4-мерно Евклидово пространство или в пространство-време на Минковски.
  • Извеждане на система естествени частни диференциални уравнения, описващи класа на повърхнините с паралелен нормиран вектор на средната кривина.
  • Доказване на фундаментална теорема за съществуване и единственост за квази-минимални повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика.
  • Намиране на Вайерщрасови представяния на мининални повърхнини в 4-мерно пространство на Минковски.