Риманова и комплексна геометрия

Научните изследвания в проекта са насочени към решаване на следните научноизследователски задачи:

• Изследвания върху геометрията на класически и обобщени туисторни пространства.
• Изучаване на почти Ермитови структури като изображения в туисторни пространства.
• Намиране на условия за частична интегруемост на почти комплексни структури.
• Изследване поведението на притискащата функция.
• Описание на повърхнините с паралелен нормиран вектор на средната кривина в 4-мерно Евклидово пространство и пространство на Минковски чрез система частни диференциални уравнения.
• Разработване на инвариантна теория на квази-минимални повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика.
• Вайерщрасови представяния за минимални повърхнини в пространство на Минковски.

Работата по тези научноизследователски задачи е разделена на следните работни пакети:

• РП 1. Геометрия на класически и обобщени туисторни пространства
• РП 2. Свойства на почти Ермитови структури като изображения в туисторни пространства
• РП 3. Частична интегруемост на почти комплексни структури
• РП 4. Свойства на притискащата функция
• РП 5. Диференциална геометрия на двумерни подмногообразия в плоски 4-мерни пространства

Резултати през първия етап:

• Намерени са условията за интегруемост на ограниченията на четирите естествени обобщени почти комплексни структури върху свързаните компоненти на обобщеното туисторно пространство върху многообразие, снабдено с обобщена метрика.
• Конструирани са многообразия с Риманова структура на почти произведение, на които са определени класовете на Gil-Medrano и Naveira.
• Установени са оценки отдолу за притискащата функция на дадена област.
• Установени са неравенства между притискащата функция и инвариантите на Фридман.
• Доказано е, че ако от ограничена C-изпънала област извадим краен брой хипперравнини, то получената област не е хиперболична относно разстоянието на Кобаяши.
• Доказано е, че обемът на Каратеодори-Айзенман е сравним с обема на индикатрисата на метриката на Каратеодори с точност до малка/голяма константа, зависещи само от n.
• Въведени са естествени параметри върху повърхнини с паралелен нормиран вектор на средната кривина в Евклидово пространство и в пространство на Минковски.
• Получени са системи естествени частни диференциални уравнения, описващи класа на повърхнините с паралелен нормиран вектор на средната кривина и са намерени експлицитни решения на съответните системи.
• Въведени са специални параметри върху квази-минимална повърхнина в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика и са получени условия за интегруемост на квази-минимална повърхнина.
• Доказано е, че всяка максимална пространствено-подобна повърхнина в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика притежава канонично Вайерщрасово представяне.

Резултати през втория етап:

• Пресметната е втората основна форма на изображението от почти Ермитово многообразие в неговото туисторно пространство, дефинирано от почти комплексната структура на многообразието в случаите, когато то е снабдено с метрична свързаност с напълно анти-симетрична торзия или със свързаност на Вайл за даден конформен клас.
• Втората форма е пресметната и в случая, когато почти комплексната структура се разглежда като изображение на сферичното разслоение на Риманово многообразие в себе си, като сферичното разслоение е снабдено с метриката на Сасаки.
• В тези три случая е работено върху намиране на условията, при които изображението от многообразието в неговото туисторно пространство е хармонично.
• Получени са експлицитни формули за тензора на Найенхюй на почти комплексни структури върху туисторното пространство на 4-мерно ориентирано Риманово многообразие определени от морфизми на туисторното разслоение.
• Намерено е подходящо за пресмятания описание на каноничната ляво-инвариантна симплектична форма върху афинната група и са получени алгебрични формули за тензорите на Найенхюй на естествена фамилия от съвместими с тази симплектична форма ляво-инвариантни почти комплексни структури.
• Установени са различни свойства на проективния аналог на притискащата функция и е доказана количествена локализация на притискащата функция около плюрисубхармонична бариера.
• Получени са оценки за ръста на разстоянието на Кобаяши около гранични точки на изпъкнали области с приложения към т. нар. visibility property.
• Получени са нови локализационни резултати за разстоянието на Кобаяши. Като следствие са сравнени разстоянията на Кобаяши и Каратеодори върху строго псевдоизпъкнали области.
• Въведени са специални параметри за класа на квази-минималните Лоренцови повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика и е доказана фундаментална теорема за съществуване и единственост на този клас повърхнини.
• Получени са Вайерщрасови представяния чрез канонични параметри на минималните Лоренцови повърхнини.
• С помощта на каноничното Вайерщрасово представяне са конструирани примери на минимални Лоренцови повърхнини. На базата на тези представяния са получени експлицитни решения на системата ЧДУ, описваща минималните повърхнини в 4-мерно псевдо-Евклидово пространство с неутрална метрика.
• Въведени са специални изотропни параметри и за класа на Лоренцовите повърхнини в 3-мерно пространство на Минковски и е доказана фундаментална теорема за съществуване и единственост за този клас повърхнини.
• Въведени са канонични параметри върху минималните времеподобни повърхнини в произволно n-мерно Лоренцово пространство.